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高中高中数学北师大版选修2-2课件第5章 §2 2.1 复数的加法与减法+2.2 复数的乘法与除法精选ppt课件

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§2 复数的四则运算

2.1 复数的加法与减法

2.2 复数的乘法与除法

学 业









1.理解共轭复数的概念.(重点) 2.掌握复数的四则运算法则与运算律.(重点、难点)

[基础·初探] 教材整理 1 复数的加法与减法 阅读教材 P103“例 1”以上部分,完成下列问题. 1.复数的加法 设 a+bi(a,b∈R)和 c+di(c,d∈R)是任意两个复数,定义复数的加法如下: (a+bi)+(c+di)= (a+c)+(b+d)i .

2.复数的减法 设 a+bi(a,b∈R)和 c+di(c,d∈R)是任意两个复数,定义复数的减法如下: (a+bi)-(c+di)= (a-c)+(b-d)i .

复数 z1=2-12i,z2=12-2i,则 z1+z2 等于(

)

A.0

B.32+52i

C.52-52i 【解析】

D.52-32i z1+z2=???2+12???+???-12-2???i=52-52i.

【答案】 C

教材整理 2 复数的乘法与除法 阅读教材 P104“练*”以下~P106,完成下列问题. 1.复数的乘法法则 设 z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则 z1·z2=(a+bi)(c+di) = (ac-bd)+(ad+bc)i .

2.复数乘法的运算律

对任意复数 z1,z2,z3∈C,有

交换律

z1·z2=z2·z1

结合律

(z1·z2)·z3=z1·(z2·z3)

乘法对加法的分配律 z1(z2+z3)=z1z2+z1z3

3.共轭复数 如果两个复数的 实部相等,虚部互为相反数 ,那么这样的两个复数叫作互 为共轭复数.复数z的共轭复数用z来表示,即z-=a+bi,则z= a-bi. 4.复数的除法法则 设z1=a+bi,z2=c+di(c+di≠0),则zz21=ac++dbii=acc2+ +bdd2 +bcc2- +add2 i.

(1+i)2-22- +ii=________. 【解析】 ∵(1+i)2-22- +ii=2i-(2-5 i)2=-35+154i. 【答案】 -35+154i

[质疑·手记] 预*完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问 1: _____________________________________________________ 解惑: _______________________________________________________ 疑问 2: _____________________________________________________ 解惑: _______________________________________________________ 疑问 3: ______________________________________________________ 解惑: _______________________________________________________

[小组合作型] 复数的加法与减法运算
(1)???13+12i???+(2-i)-???43-32i???=________. (2)已知复数 z 满足 z+1-3i=5-2i,求 z. (3)已知复数 z 满足|z|+z=1+3i,求 z.

【精彩点拨】 (1)根据复数的加法与减法法则计算. (2)设 z=a+bi(a,b∈R),根据复数相等计算或把等式看作 z 的方程,通过 移项求解. (3)设 z=x+yi(x,y∈R),则|z|= x2+y2,再根据复数相等求解.

【自主解答】 (1)???13+12i???+(2-i)-???43-32i???=???13+2-43???+???12-1+32???i =1+i. 【答案】 1+i

(2)法一:设 z=x+yi(x,y∈R),因为 z+1-3i=5-2i,所以 x+yi+(1-3i) =5-2i,即 x+1=5 且 y-3=-2,解得 x=4,y=1,所以 z=4+i.
法二:因为 z+1-3i=5-2i,所以 z=(5-2i)-(1-3i)=4+i. (3)设 z=x+yi(x,y∈R),则|z|= x2+y2,又|z|+z=1+3i,所以 x2+y2+x +yi=1+3i,由复数相等得?????y=x23+,y2+x=1,解得?????xy= =-3,4,所以 z=-4+3i.

1.复数加法与减法运算法则的记忆 (1)复数的实部与实部相加减,虚部与虚部相加减. (2)把 i 看作一个字母,类比多项式加、减法中的合并同类项. 2.当一个等式中同时含有|z|与 z 时,一般要用待定系数法,设 z=a+bi(a,b ∈R).

[再练一题]

1.(1)复数(1-i)-(2+i)+3i 等于( )

A.-1+I B.1-i

C.i

D.-i

【解析】 (1-i)-(2+i)+3i=(1-2)+(-i-i+3i)=-1+i.故选 A. 【答案】 A

(2)已知|z|=3,且 z+3i 是纯虚数,则 z=________.
【解析】 设 z=x+yi(x,y∈R),∴ x2+y2=3①,且 z+3i=x+yi+3i=x +(y+3)i 是纯虚数,则?????xy=+03,≠0,
由①可得 y=3. ∴z=3i. 【答案】 3i

复数的乘法与除法运算
已知复数 z1=1+i,z2=3-2i.试计算: (1)z1·z2 和 z41; (2)z1÷z2 和 z22÷z1. 【精彩点拨】 按照复数的乘法和除法法则进行.

【自主解答】 (1)z1·z2=3-2i+3i-2i2=5+i. z41=[(1+i)2]2=(2i)2=4i2=-4. (2)z1÷z2=31-+2ii=((31-+2ii))((33++22ii))=1+135i=113+153i. z22÷z1=(31-+2ii)2=5-1+12i i=((5-1+12i)i)((11--i)i) =-7-2 17i=-72-127i.

1.实数中的乘法公式在复数范围内仍然成立. 2.复数的四则运算次序同实数的四则运算一样,都是先算乘除,再算加减. 3.常用公式 (1)1i =-i;(2)11+ -ii=i;(3)11- +ii=-i.

[再练一题]

2.(1)满足z+z i=i(i 为虚数单位)的复数 z=(

)

A.12+12i

B.12-12i

C.-12+12i

D.-12-12i

(2)若复数 z 满足 z(1+i)=2i(i 为虚数单位),则|z|=( )

A.1

B.2

C. 2

D. 3

【解析】 (1)∵z+z i=i,∴z+i=zi,∴i=z(i-1). ∴z=i-i 1=(-1i+(i-)1(--i)1-i)=1-2 i=12-12i. (2)∵z(1+i)=2i,∴z=12+i i=2i(12-i)=1+i, ∴|z|= 12+12= 2.
【答案】 (1)B (2)C

共轭复数的应用

[探究共研型]

探究 1 两个共轭复数的和一定是实数吗?两个共轭复数的差一定是纯虚 数吗?
【提示】 若z=a+bi(a,b∈R),则 -z =a-bi,则z+ -z =2a∈R.因此,
和一定是实数;而z- -z =2bi.当b=0时,两共轭复数的差是实数,而当b≠0 时,两共轭复数的差是纯虚数.
探究 2 若 z1 与 z2 是共轭复数,则|z1|与|z2|之间有什么关系? 【提示】 |z1|=|z2|.

已知z∈C,-z 为z的共轭复数,若z·-z -3i-z =1+3i,求z.
【精彩点拨】 设z=a+bi(a,b∈R),则 -z =a-bi.代入所给等式,利用 复数的运算及复数相等的充要条件转化为方程组求解.

【自主解答】 设z=a+bi(a,b∈R),则-z =a-bi,(a,b∈R), 由题意得(a+bi)(a-bi)-3i(a-bi)=1+3i, 即a2+b2-3b-3ai=1+3i, 则有?????a-2+3ab=2-3,3b=1,解得?????ab= =-0 1,或?????ab= =- 3. 1, 所以z=-1或z=-1+3i.

[再练一题] 3.已知复数 z1=(-1+i)(1+bi),z2=a1+-2ii,其中 a,b∈R.若 z1 与 z2 互为共 轭复数,求 a,b 的值.

【解】 z1=(-1+i)(1+bi)=-1-bi+i-b=(-b-1)+(1-b)i, z2=a1+-2ii=((a1+-2ii))((11++ii))=a+ai+2 2i-2 =a-2 2+a+2 2i, 由于 z1 和 z2 互为共轭复数,所以有 ???????aa- +22 22= =- -(b-11-,b),解得?????ab= =- 1. 2,

[构建·体系]

1.设 z1=2+i,z2=1-5i,则|z1+z2|为( )

A. 5+ 26

B.5

C.25

D. 37

【解析】 |z1+z2|=|(2+i)+(1-5i)| =|3-4i|= 32+(-4)2=5.

【答案】 B

2.已知 i 是虚数单位,则(-1+i)(2-i)=( )

A.-3+i

B.-1+3i

C.-3+3i

D.-1+i

【解析】 (-1+i)(2-i)=-1+3i.

【答案】 B

3.设复数 z1=1+i,z2=x+2i(x∈R),若 z1z2∈R,则 x=________.
【解析】 ∵z1=1+i,z2=x+2i(x∈R), ∴z1z2=(1+i)(x+2i)=(x-2)+(x+2)i. ∵z1z2∈R,∴x+2=0,即 x=-2. 【答案】 -2

4.若1-2 i=a+bi(i 为虚数单位,a,b∈R),则 a+b=________. 【导学号:94210084】
【解析】 因为1-2 i=(1-2(i)1+(i1)+i)=1+i,所以 1+i=a+bi,所以 a =1,b=1,所以 a+b=2.
【答案】 2

5.已知复数z满足|z|= 5,且(1-2i)z是实数,求-z .
【解】 设z=a+bi(a,b∈R),则(1-2i)z=(1-2i)·(a+bi)=(a+2b)+(b -2a)i,又因为(1-2i)z是实数,所以b-2a=0,即b=2a,又|z|= 5,所以a2+ b2=5,解得a=±1,b=±2,
∴z=1+2i或-1-2i, ∴-z =1-2i或-1+2i, ∴-z =±(1-2i).

我还有这些不足: (1) ________________________________________________________ (2) ________________________________________________________ 我的课下提升方案: (1) ________________________________________________________ (2) ________________________________________________________

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