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2020届高三数学(理)人教版一轮训练:第二篇第10节 导数的概念及计算 Word版含解析.doc

发布时间:

第 10 节 导数的概念及计算

【选题明细表】

知识点、方法

题号

导数的概念与运算

1,2,3,13

导数的几何意义

4,5, 7,8,9,11

导数运算及几何意义综合

6,10,12,14,15

基础巩固(时间:30 分钟)

1.(2017·黑龙江省伊春市期中)函数 y= 的导数为( D )

(A)

(B)

(C)- (D)

解析:因为 y= ,所以 y′=

=

2.函数 y=ln(2x2+1)的导数是( B )

.故选 D.

(A)

(B)

(C)

(D)

解析:因为 y=ln(2x2+1),

所以 y′=

·(2x2+1)′=

.

故选 B.

3.(2017·山西怀仁*谥)已知 f(x)=x2+3xf′(1),则 f′(2)等于 (A) (A)1 (B)2 (C)4 (D)8 解析:f′(x)=2x+3f′(1),令 x=1,得 f′(1)=2+3f′(1),f′(1)=-1, 所以 f′(x)=2x-3.所以 f′(2)=1. 故选 A. 4.(2017·湖南怀化一模)如图,函数 y=f(x)的图象在点 P 处的切线方 程是 y=-x+8,则 f(5)+f′(5)等于( A )
(A)2 (B)1 (C) (D)0 解析:根据图象知,点 P 为切点, f(5)=-5+8=3, f′(5)为函数 y=f(x)的图象在点 P 处的切线的斜率, 所以 f′(5)=-1, 所以 f(5)+f′(5)=2. 故选 A. 5.函数 f(x)=exln x 在 x=1 处的切线方程是( C ) (A)y=2e(x-1) (B)y=ex-1 (C)y=e(x-1) (D)y=x-e 解析:函数 f(x)=exln x 的导数为 f′(x)=exln x+ex·,

所以切线的斜率 k=f′(1)=e, 令 f(x)=exln x 中 x=1,得 f(1)=0, 所以切点坐标为(1,0), 所以切线方程为 y-0=e(x-1),即 y=e(x-1). 故选 C.
6.(2017·湖南邵阳二模)已知 a>0,曲线 f(x)=2ax2- 在点(1,f(1)) 处的切线的斜率为 k,则当 k 取最小值时 a 的值为( A ) (A) (B) (C)1 (D)2
解析:f(x)=2ax2- 的导数为 f′(x)=4ax+ , 可得在点(1,f(1))处的切线的斜率为 k=4a+,
由 a>0,可得 4a+≥2 =4, 当且仅当 4a=,即 a=时,k 取最小值. 故选 A. 7.导学号 38486054(2017·河南许昌二模)已知函数 y=x+1+ln x 在点 A(1,2)处的切线 l,若 l 与二次函数 y=ax2+(a+2)x+1 的图象也相切, 则实数 a 的取值为( D ) (A)12 (B)8 (C)0 (D)4 解析:y=x+1+ln x 的导数为 y′=1+, 曲线 y=x+1+ln x 在 x=1 处的切线斜率为 k=2, 则曲线 y=x+1+ln x 在 x=1 处的切线方程为 y-2=2x-2,即 y=2x. 由于切线与曲线 y=ax2+(a+2)x+1 相切,

y=ax2+(a+2)x+1 可联立 y=2x,

得 ax2+ax+1=0,

又 a≠0,两线相切有一切点,

所以有Δ =a2-4a=0,

解得 a=4.

故选 D.

8.(2017·天津卷)已知 a∈R,设函数 f(x)=ax-ln x 的图象在点

(1,f(1))处的切线为 l,则 l 在 y 轴上的截距为

.

解析:因为 f′(x)=a-,

所以 f′(1)=a-1.

又因为 f(1)=a,

所以切线 l 的斜率为 a-1,且过点(1,a),

所以切线 l 的方程为 y-a=(a-1)(x-1).

令 x=0,得 y=1,故 l 在 y 轴上的截距为 1.

答案:1

9.(2017·云南一模)已知函数 f(x)=axln x+b(a,b∈R),若 f(x)的图

象在 x=1 处的切线方程为 2x-y=0,则 a+b=

.

解析:f(x)=axln x+b 的导数为 f′(x)=a(1+ln x),

由 f(x)的图象在 x=1 处的切线方程为 2x-y=0,

易知 f(1)=2,即 b=2,

f′(1)=2,即 a=2,

则 a+b=4.

答案:4 能力提升(时间:15 分钟)
10.导学号 38486055 已知函数 f(x)在 R 上可导,且 f(x)=x2+2xf′(2), 则函数 f(x)的解析式为( B ) (A)f(x)=x2+8x (B)f(x)=x2-8x (C)f(x)=x2+2x (D)f(x)=x2-2x 解析:因为 f(x)=x2+2xf′(2), 所以 f′(x)=2x+2f′(2), 所以 f′(2)=2×2+2f′(2),解得 f′(2)=-4, 所以 f(x)=x2-8x, 故选 B. 11.(2017·广州一模)设函数 f(x)=x3+ax2,若曲线 y=f(x)在点 P(x0, f(x0))处的切线方程为 x+y=0,则点 P 的坐标为( D ) (A)(0,0) (B)(1,-1) (C)(-1,1) (D)(1,-1)或(-1,1) 解析:因为 f(x)=x3+ax2,所以 f′(x)=3x2+2ax, 因为函数在点(x0,f(x0))处的切线方程为 x+y=0, 所以 3 +2ax0=-1, 因为 x0+ +a =0,解得 x0=±1. 当 x0=1 时,f(x0)=-1, 当 x0=-1 时,f(x0)=1. 故选 D.

12.(2017·甘肃二模)曲线 y=2ln x 上的点到直线 2x-y+3=0 的最短距 离为( A ) (A) (B)2 (C)3 (D)2 解析:设与直线 2x-y+3=0 *行且与曲线 y=2ln x 相切的直线方程为 2x-y+m=0. 设切点为 P(x0,y0),
因为 y′=,所以斜率 =2,解得 x0=1,因此 y0=2ln 1=0.所以切点为 P(1,0).

则点 P 到直线 2x-y+3=0 的距离 d=

=.

所以曲线 y=2ln x 上的点到直线 2x-y+3=0 的最短距离是 .

故选 A.

13.(2017·天津一模)已知函数 f(x)=

则 f′(0)的值为

.

,f′(x)为 f(x)的导函数,

解析:f′(x)= 答案:2

= ,所以 f′(0)= =2.

14.已知函数 f(x)= ,g(x)=aln x,a∈R,若曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)

相交,且在交点处有共同的切线,则切线方程为

.

解析:f′(x)= ,g′(x)= (x>0),由已知得

解得 a=,x=e2.

所以两条曲线交点的坐标为(e2,e),切线的斜率为 k=f′(e2)= ,

所以切线的方程为 y-e= (x-e2),即 y= x+.

答案:y= x+

15.(2017·沈阳一模)设点 P 在曲线 y=ex 上,点 Q 在曲线 y=ln(2x)上,

则|PQ|的最小值为

.

解析:因为函数 y=ex 与函数 y=ln(2x)互为反函数,图象关于 y=x 对称,

函数 y=ex 上的点 P(x, ex)到直线 y=x 的距离为 d=

,

设 g(x)= ex-x(x>0),则 g′(x)= ex-1,

由 g′(x)= ex-1≥0,可得 x≥ln 2,

由 g′(x)= ex-1<0 可得 0<x<ln 2,

所以函数 g(x)在(0,ln 2)上单调递减,在[ln 2,+∞)上单调递增,

所以当 x=ln 2 时,函数 g(x)min=1-ln 2,dmin=

,

由图象关于 y=x 对称得|PQ|最小值为 2dmin= (1-ln 2).

答案: (1-ln 2)




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